پدر آیت الله خرازی، "حاج سید مهدی خرازی"‌ نام داشت و اصل و نسب آنها اصفهانی است که به تهران مهاجرت کرده‌اند. خانواده وی از سادات و نسب آنها به امام سجاد(ع) و امام حسن مجتبی(ع) می‌رسد.    فرزندان سید محمد صادق خرازی، فرزند آیت الله محسن خرازی است. وی عهده‌دار مسئولیت‌هایی نظیر سفیر ایران در سازمان ملل متحد در نیویورک در سال 1368 و در زمان ریاست جمهوری آیت الله هاشمی رفسنجانی، سفیر ایران در فرانسه ( از سال 1381 تا 1384)، مشاور شهردار تهران و ... بوده است. آیت الله سید محمد باقر خرازی، فرزند دیگر آیت الله خرازی، دبیرکل حزب‌ الله ایران بوده که فعالیت تشکیلاتی دارد. وی مؤسس مدرسه اجتهادیه "محسنیه" است که در آن به تربیت نیرو و طلاب می‌پردازند. در انتخابات ریاست جمهوری در سال 1392 اعلام کرده بود نامزد ریاست جمهوری می‌شود و در روز ثبت نام از نامزدها، ثبت نام خود را نهایی کرد اما بعدها از سوی شورای نگهبان رد صلاحیت شد. دختر آیت الله محسن خرازی با فرزند رهبر معظم انقلاب، مسعود خامنه‌ای ازدواج کرده است.   برادر سید کمال خرازی، برادر آیت الله خرازی است که در دوران ریاست جمهوری سید محمد خاتمی، به مدت 8 سال  و در دولت هفتم و هشتم وزیر امور خارجه بود.  

آیت‌ الله سید محسن خرازی دروس دوران ابتدایی را در تهران در "مجتمع فرهنگی برهان" فرا گرفت و سپس تحت تربیت و آموزش "آقا شیخ محمد حسین زاهد" قرار گرفت. پس از درگذشت وی نزد آیت‌ الله مجتهدی رفت و تحت تربیت ایشان قرار گرفت. با فراگیری دروس مقدماتی، به همراه آیت‌الله رضا استادی در سال 1336 عزم سفر به حوزه علمیه قم کرد تا در محضر استادان مبرّز و برجسته آن حوزه، تحصیلات خود را تکمیل کند. پس از ورود به قم با آیت الله استادی در یک جا سکونت گزید و به تحصیل پرداخت. وی در قم، باقیمانده دروس مقدمات را نزد "آیت‌الله فشارکی"‌ آموخت و در درس "شرح لمعه" "آیت‌الله شیخ محمد تقی ستوده" شرکت می‌کرد. "رسائل"‌ را نزد "آیت‌الله شیخ مصطفی اعتمادی"‌ و "آیت الله حاج شیخ محمد شاه آبادی"‌ و "مکاسب"‌ را نزد "آیت الله میرزا علی مشکینی" و "کفایة الاصول را نزد "آیت‌الله حاج سید محمد باقر سلطانی"‌ و "حاج شیخ محمد شاه‌آبادی"‌ و "حاج شیخ علی تنکابنی فلسفی" فرا گرفت.  همچنین برای آموختن "فلسفه"‌، "کلام و عقاید" به نزد "آیت‌الله شیخ محمد شاه‌آبادی" رفت و از محضر وی استفاده فراوانی برد. از سال 1341 در درس "خارج"‌ عالمانی چون "آیت‌الله العظمی سید محمدرضا گلپایگانی(ره)"، "آیت‌الله سید محمد محقق داماد(ره)"، "آیت‌الله العظمی سید حسن فرید اراکی(ره)" شرکت کرد و در درس خارج "آیت‌الله شیخ محمد علی اراکی(ره)" تا اواخر عمر ایشان حضور داشت. آیت‌الله خرازی در سال‌های فراگیری دروس سطح با "حجت اسلام محمد حسن ممدوحی"، "غلامحسین حقانی"، "سید مجتبی زنجانی"، "سید جمال الدین دین پرور" مصاحبت و مباحثه داشت و در حال فراگیری دروس خارج، با حضرات آیات "استادی"‌ و "مصلحی" و "غلامرضا سلطانی"‌ مباحثه می‌نمود و توانست پس از اتمام تحصیلات حوزوی به درجهٔ اجتهاد برسد.   دوستان دوران تحصیل در حوزه آیت الله خرازی با حضرات آیات "مظاهری"، "مصباح یزدی"‌ و "سید محمد خامنه‌ای" رابطه دوستی داشت و دوستی او با "آیت‌الله رضا استادی" بعد از دوران تحصیل نیز ادامه یافت.  

جامعه مدرسین حوزه علمیه قم از سال 1359  همکاری با مجمع فقهی اهل بیت(ع) در خصوص مسائل جدید فقهی عضویت در ادوار دوم، سوم و چهارم مجلس خبرگان رهبری به عنوان نماینده استان تهران از بنیانگذاران مؤسسه "در راه حق"   

آیت‌الله خرازی از زمان تحصیل در دوره سطح به تدریس و بحث‌های متفرقه "عقائد تفسیر" و... می‌پرداخت که از درس‌های مطلوب و مرغوب حوزه به شمار می‌آمد. وی از سال 1405 تدریس درس "خارج فقه" را شروع کرد و سپس به تدریس و بحث دروس "اجتهاد و تقلید عروه الوثقی"، "طهارت"، "جهاد"، "مکاسب محرمه" پرداخت.  

از مهم‌ترین خدمات آیت‌ الله محسن خرازی در عرصه‌های علمی و فرهنگی، تأسیس مؤسسه "در راه حق" بوده است. در سال 1343، آیت‌الله خرازی با توجه به اهمیت مبارزه با افکار انحرافی مسیحی و نیز نظر به ضرورت ایجاد تشکیلات منسجمی برای مبارزه همیشگی با افکار التقاطی مؤسسه "در راه حق"‌ را بنیان نهاد. این مؤسسه ضمن برقراری ارتباط با جوانان، به حل شبهات و مشکلات آنان پرداخته و اصول اعتقادی را با سبک نوین مطرح کرد و آنان را با مبانی و مبادی علوم اسلامی و اصول تشیع آشنا کرد.   انتشار نشریات و سیر پاسخگویی به شبهات دینی در مؤسسه  در زمان تأسیس این مؤسسه، مسیحیت توانسته بود با ابزارهای موجود با محصلان دبیرستانی مسلمان ارتباط برقرار کند و آنان را به مسیر گمراهی بکشاند. رژیم پهلوی نیز خود به گونه‌ای از تشکیلات مسیحیت حمایت می‌کرد و نسبت به موضع‌گیری‌های حوزه علمیه، حساسیت خاصی نشان می‌داد. انگیزهٔ آنان، هدایت جامعه به ویژه نسل جوان و تحصیل کرده به صراط مستقیم بود. و این مؤسسه با انتشار نشریات و راه اندازی سامانه پاسخگویی به سؤالات به کار خود ادامه می‌دهد. در این مؤسسه بزرگانی همچون "آیت‌الله رضا استادی"، "آیت‌ الله محمد تقی مصباح یزدی"، "آیت‌الله مظاهری" و "آیت‌الله سلطانی" و... فعالیت داشته‌اند.   گام اول، انحرافات مسیحیت دشمنان اسلام می‌خواستند مذهب را، موجودی جامد و بی روح معرفی کنند. از این رو دوره اوّل و دوم نشریات رایگان مؤسسه "در راه حق"، مختص انحراف‌های دینِ مسیحیت بود.    گام دوم، نشر تاریخ اسلام در پی آن، یک دوره تاریخ اسلام با رعایت ایجاز منتشر شد و توانست جوانان را مخاطب قرار دهد.    گام سوم، مارکسیسم و پاسخ به شبهات آن "مارکسیسم" در گذشته‌های نه چندان دور قد علم کرد. مکتبی با ظاهری پر زرق و برق و فریب دهنده. این مکتب در پرتو اصطلاحات پر آب و تاب و دفاع از کارگران و بر پایه بافته‌های فلسفه مادی، بسیاری از جوانان را فریب داد. مؤسسه، در مبارزه وسیع با این مکتب انحرافی تصمیم به انتشار نشریاتی در دو سطح ساده و تخصّصی گرفت تا هم حقایق را بازگوید و هم چهره فریبنده مارکسیسم را بهتر بشناساند.   گام چهارم، انتشار اصول و عقاید دینی اشتیاق مردم به فراگیری اصول دین و تقاضاهای مکرر در این مورد، باعث شد تا مؤسسه، اصول عقاید را با روشی نو و علمی عرضه دارد. به طور کلی انتشار نشریات رایگان مؤسسه در راه حق، تحوّلی شگرف را در جامعه پدید آورد و زمینه را برای بیداری نسل جوان فراهم ساخت. افزون بر این فعالیت‌ها، نشریات عمیق و کلیدی آن، به زبان‌های زنده دنیا ترجمه شده است.  

پیشوایان معصوم (ع): زندگینامه چهارده معصوم (ع)، سال چاپ 1387 تصحیح دیوان خواجه شمس الدین محمد حافظ شیرازی، سال چاپ 1375 گلچینی از شورانگیزترین غزلیات شمس تبریزی، سال چاپ 1375، تهیه شده به صورت گروهی تحدید الکر بحسب الوزن و المساحه، به زبان عربی، سال چاپ 1377، تهیه شده به صورت گروهی ترجمه بدایه المعارف الالهیه فی عقاید الامامیه، سال چاپ 1378 تبیین مساله امامت، سال چاپ 1379 تعلیقه بر مکاسب، به زبان عربی سال چاپ 1380 روزنه‌هایی از عالم‌ غیب، سال چاپ 1380 قیامت: بررسی مستند در اثبات معاد، سال چاپ 1380 کلمة حول توسل، سال چاپ 1380 حیاء الموات، به زبان عربی، سال چاپ 1380 اشکال و انواع دفاع مقدس، سال چاپ 1380 الامر بالمعروف و النهی عن المنکر، به زبان عربی، سال چاپ 1380 الجهاد، به زبان عربی، سال چاپ 1380 بحوث هامة، به زبان عربی، سال چاپ 1380 طهارت در قرآن، سال چاپ 1380 عمدة الاصول، به زبان عربی، سال چاپ 1380، تهیه شده به صورت گروهی فی رحاب التقوی، به زبان عربی، سال چاپ 1380 معالم لیله القدر المبارکه، به زبان عربی، سال چاپ 1380 من لایحضره التفصیل، به زبان عربی، سال چاپ 1380 حدیث ثقلین، سال چاپ 1381 ترجمه مناجات نامه خواجه عبدالله انصاری و رباعیات، در سال 1381، تهیه شده به صورت گروهی ارث الزوجه من الرباع و الاراضی، به زبان عربی، سال چاپ 1383 بدایه المعارف الالهیه فی شرح عقائد الامامیه، به زبان عربی، سال چاپ 1385 سخنی پیرامون توسل، سال چاپ 1386